Allemaal Bayesjes

Lichtjuf zit in Boston, te Harvarden, dat mag ze. En gedurende haar stay in B. houdt ze een logje bij. Ook dat mag ze. Maar voordat ik daar ernstig reclame voor ga maken, moet ze eerst het recept voor spinaziesoup publiceren, want dat had ze beloofd.

Ondertussen lees ik haar logje wel, dat mag ik. En ze schreef over Bayes, nouja, dat ze er een college over gevolgd had, dat mag ze. En we hebben wel eens in de kroeg over Bayes en zijn theorema zitten praten (dat mochten we). Waar bij ik dan over kansen praat en zij over posteriors (wat in mijn termen dan weer bumsen zijn en dat mag niet, want niet netjes). Maar Bayes speelt een belangrijke rol in mijn levenscomfort, het ruimt mijn spammetjes namelijk op (dat mag hij). En ook u gebruikt (onbewust) Bayes dagelijks, heel intuïtief, dat mag u, leuk he? Wanneer u ‘m gebruikt? Als u als volgt redeneert: Ik neem de telefoon op en hoor een lage stem, het is een telemarketing ding. De meeste telemarketeers zijn vrouwen, maar de meeste vrouwen hebben een hoge stem. Als u dan de volgende cijfers gokt (dat mag u):

De kans dat ik een man tref is 20%
De kans dat een man een lage stem heeft is 95%
De kans dat een vrouw een lage stem heeft is 10%

Dan zegt Bayes¹ dat u gegeven de lage stem een kans van 70% hebt dat u een man aan de telefoon heeft.

(let wel, slechts 70% he!)

1 de kans op ‘een man’ gegeven ‘een lage stem’ is gelijk aan: ‘de kans op een lage stem, gegeven een man’ maal de kans op ‘een man in het algemeen’, gedeeld door ‘de kans op een lage stem’, waarbij de kans op ‘een lage stem’ gelijk is aan ‘de kans op een lage stem gegeven een man’ maal ‘de kans op een man’ plus ‘de kans op een lage stem gegeven een vrouw’ maal ‘de kans op een vrouw’, waarin ‘de kans op een vrouw’ weer gelijk is aan een min ‘de kans op een man’²
2 begrijpt u nu waarom wiskundigen met symbolen werken?

P(B)=kans op hoge stem
P(A)=kans op  man (20%)
P(A|B) = kans op man gegeven hoge stem (gevraagd)
P(B|A) = kans op lage stem gegeven man (95%)
P(B|/A) = kans op lage stem gegeven vrouw (10%)

Bayes zegt:
P(A|B)=P(B|A) * P(A) / P(B)

waarin P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|/A) * P(/A)

waarin P(/A) = 1 – P(A)

Zodat:

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / (P(B|A) * P(A) + P(B|/A) * (1 – P(A)))

dus:

P(A|B) = 0.95 * 0.2 /(0.95 * 0.2 + 0.1 * (1 – 0.2)) = 0.7

P.S. Nu maar hopen dat er niet een nieuwe Boston Strangler terug komt in december… want ik wil:

1. niet het slachtoffer worden
2. niet dat ze de bayes in moet 😉